81b^2-126b+48=0 lösen

$$81 b ^ { 2 } - 126 b + 48 = 0$$

Nach b auflösen

$$b=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$b=\frac{8}{9}\approx 0,888888889$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 81, b durch -126 und c durch 48, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{\left(-126\right)^{2}-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

-126 zum Quadrat.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-4\times 81\times 48}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 81.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-324\times 48}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -324 mit 48.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{15876-15552}}{2\times 81}$$

Addieren Sie 15876 zu -15552.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±\sqrt{324}}{2\times 81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$b=\frac{-\left(-126\right)±18}{2\times 81}$$

Das Gegenteil von -126 ist 126.

$$b=\frac{126±18}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 81.

$$b=\frac{126±18}{162}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{126±18}{162}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 126 zu 18.

$$b=\frac{144}{162}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{144}{162} um den niedrigsten Term, indem Sie 18 extrahieren und aufheben.

$$b=\frac{8}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung b=\frac{126±18}{162}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von 126.

$$b=\frac{108}{162}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{108}{162} um den niedrigsten Term, indem Sie 54 extrahieren und aufheben.

$$b=\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$81b^{2}-126b+48=0$$

48 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$81b^{2}-126b+48-48=-48$$

Die Subtraktion von 48 von sich selbst ergibt 0.

$$81b^{2}-126b=-48$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 81.

$$\frac{81b^{2}-126b}{81}=-\frac{48}{81}$$

Division durch 81 macht die Multiplikation mit 81 rückgängig.

$$b^{2}+\left(-\frac{126}{81}\right)b=-\frac{48}{81}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-126}{81} um den niedrigsten Term, indem Sie 9 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{48}{81}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{81} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b=-\frac{16}{27}$$

Dividieren Sie -\frac{14}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{9} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=-\frac{16}{27}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=-\frac{16}{27}+\frac{49}{81}$$

Addieren Sie -\frac{16}{27} zu \frac{49}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}=\frac{1}{81}$$

Faktor b^{2}-\frac{14}{9}b+\frac{49}{81}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{1}{81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{81}}$$

Vereinfachen.

$$b-\frac{7}{9}=\frac{1}{9} b-\frac{7}{9}=-\frac{1}{9}$$

Addieren Sie \frac{7}{9} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$b=\frac{8}{9} b=\frac{2}{3}$$