81x^2+90x+25 lösen

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Faktorisieren

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 81x^{2}+ax+bx+25 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 2025 ergeben.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 90 ergibt.

$$a=45 b=45$$

81x^{2}+90x+25 als \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) umschreiben.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Klammern Sie 9x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 9x+5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung des Quadrats von Binomen

Dieses Trinom hat die Form eines trinomischen Quadrats, möglicherweise mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert. Trinomische Quadrate können durch Finden der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms in Faktoren zerlegt werden.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Suchen Sie den größten gemeinsamen Faktor der Koeffizienten.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des führenden Terms 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Suchen Sie die Quadratwurzel des schließenden Terms 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Das trinomische Quadrat ist das Quadrat des Binoms, das die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln des führenden und des schließenden Terms ist, wodurch das Vorzeichen durch das Vorzeichen des mittleren Terms des trinomischen Quadrats bestimmt wird.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

90 zum Quadrat.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie -324 mit 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Addieren Sie 8100 zu -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{5}{9} und für x_{2} -\frac{5}{9} ein.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{9} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{9} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Multiplizieren Sie \frac{9x+5}{9} mit \frac{9x+5}{9}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Multiplizieren Sie 9 mit 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 81 in 81 und 81 aufheben.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(9x+5\right)^{2}$$