80x^2-100x+32=0 lösen

$$80 x ^ { 2 } - 100 x + 32 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0,625+0,096824584i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}\approx 0,625-0,096824584i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 80, b durch -100 und c durch 32, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

-100 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 80\times 32}}{2\times 80}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 80.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-320\times 32}}{2\times 80}$$

Multiplizieren Sie -320 mit 32.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-10240}}{2\times 80}$$

Addieren Sie 10000 zu -10240.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{-240}}{2\times 80}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -240.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

Das Gegenteil von -100 ist 100.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{2\times 80}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 80.

$$x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 100 zu 4i\sqrt{15}.

$$x=\frac{100+4\sqrt{15}i}{160}$$

Dividieren Sie 100+4i\sqrt{15} durch 160.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{100±4\sqrt{15}i}{160}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{15} von 100.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}i+100}{160}$$

Dividieren Sie 100-4i\sqrt{15} durch 160.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$80x^{2}-100x+32=0$$

32 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$80x^{2}-100x+32-32=-32$$

Die Subtraktion von 32 von sich selbst ergibt 0.

$$80x^{2}-100x=-32$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 80.

$$\frac{80x^{2}-100x}{80}=-\frac{32}{80}$$

Division durch 80 macht die Multiplikation mit 80 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{100}{80}\right)x=-\frac{32}{80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-100}{80} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{32}{80}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-32}{80} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{2}{5}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{2}{5}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie -\frac{2}{5} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{3}{320}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{320}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{320}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{40} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{40}$$

Addieren Sie \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8} x=-\frac{\sqrt{15}i}{40}+\frac{5}{8}$$