80=6r+r^2 lösen

$$80 = 6 r + r ^ { 2 }$$

Nach r auflösen (komplexe Lösung)

$$r=\sqrt{89}-3\approx 6,433981132$$

$$r=-\left(\sqrt{89}+3\right)\approx -12,433981132$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$6r+r^{2}=80$$

Subtrahieren Sie 80 von beiden Seiten.

$$6r+r^{2}-80=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r^{2}+6r-80=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 6 und c durch -80, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-80\right)}}{2}$$

6 zum Quadrat.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-80\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -80.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36+320}}{2}$$

Addieren Sie 36 zu 320.

$$r=\frac{-6±\sqrt{356}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 356.

$$r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{89}.

$$r=\frac{2\sqrt{89}-6}{2}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{89} durch 2.

$$r=\sqrt{89}-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{89} von -6.

$$r=\frac{-2\sqrt{89}-6}{2}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{89} durch 2.

$$r=-\sqrt{89}-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$6r+r^{2}=80$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$r^{2}+6r=80$$

Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}+6r+3^{2}=80+3^{2}$$

3 zum Quadrat.

$$r^{2}+6r+9=80+9$$

Addieren Sie 80 zu 9.

$$r^{2}+6r+9=89$$

Faktor r^{2}+6r+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r+3\right)^{2}=89$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r+3\right)^{2}}=\sqrt{89}$$

Vereinfachen.

$$r+3=\sqrt{89} r+3=-\sqrt{89}$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Nach r auflösen

$$r=\sqrt{89}-3\approx 6,433981132$$

$$r=-\sqrt{89}-3\approx -12,433981132$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$6r+r^{2}=80$$

Subtrahieren Sie 80 von beiden Seiten.

$$6r+r^{2}-80=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r^{2}+6r-80=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 6 und c durch -80, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-80\right)}}{2}$$

6 zum Quadrat.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-80\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -80.

$$r=\frac{-6±\sqrt{36+320}}{2}$$

Addieren Sie 36 zu 320.

$$r=\frac{-6±\sqrt{356}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 356.

$$r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{89}.

$$r=\frac{2\sqrt{89}-6}{2}$$

Dividieren Sie -6+2\sqrt{89} durch 2.

$$r=\sqrt{89}-3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-6±2\sqrt{89}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{89} von -6.

$$r=\frac{-2\sqrt{89}-6}{2}$$

Dividieren Sie -6-2\sqrt{89} durch 2.

$$r=-\sqrt{89}-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$6r+r^{2}=80$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$r^{2}+6r=80$$

Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}+6r+3^{2}=80+3^{2}$$

3 zum Quadrat.

$$r^{2}+6r+9=80+9$$

Addieren Sie 80 zu 9.

$$r^{2}+6r+9=89$$

Faktor r^{2}+6r+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r+3\right)^{2}=89$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r+3\right)^{2}}=\sqrt{89}$$

Vereinfachen.

$$r+3=\sqrt{89} r+3=-\sqrt{89}$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$r=\sqrt{89}-3 r=-\sqrt{89}-3$$