8y^2+6y-9 lösen

$$8 y ^ { 2 } + 6 y - 9$$

Faktorisieren

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8y^{2}+ay+by-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=-6 b=12$$

8y^{2}+6y-9 als \left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right) umschreiben.

$$\left(8y^{2}-6y\right)+\left(12y-9\right)$$

Klammern Sie 2y in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2y\left(4y-3\right)+3\left(4y-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8y^{2}+6y-9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

6 zum Quadrat.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 36 zu 288.

$$y=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$y=\frac{-6±18}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$y=\frac{-6±18}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-6±18}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 18.

$$y=\frac{12}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-6±18}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -6.

$$y=-\frac{24}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-24}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$8y^{2}+6y-9=8\left(y-\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{4y-3}{4}\times \frac{2y+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{4y-3}{4} mit \frac{2y+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{4\times 2}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 2.

$$8y^{2}+6y-9=8\times \frac{\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 8 und 8 aufheben.

$$8y^{2}+6y-9=\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$

Auswerten

$$\left(4y-3\right)\left(2y+3\right)$$