8x^2-9x+1=0 lösen

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$-1,-8 -2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-8 b=-1$$

8x^{2}-9x+1 als \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

Klammern Sie 8x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -9 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 81 zu -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±7}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Dividieren Sie 16 durch 16.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±7}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie -\frac{9}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{8} zu \frac{81}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$