8x^2-8x-1=0 lösen

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -8 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 64 zu 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Dividieren Sie 8+4\sqrt{6} durch 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{6} von 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Dividieren Sie 8-4\sqrt{6} durch 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie -8 durch 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$