8x^2-230x+750 lösen

$$8 x ^ { 2 } - 230 x + 750$$

Faktorisieren

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(4x^{2}-115x+375\right)$$

Betrachten Sie 4x^{2}-115x+375. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx+375 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-115 ab=4\times 375=1500$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 1500 ergeben.

$$-1,-1500 -2,-750 -3,-500 -4,-375 -5,-300 -6,-250 -10,-150 -12,-125 -15,-100 -20,-75 -25,-60 -30,-50$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-1500=-1501 -2-750=-752 -3-500=-503 -4-375=-379 -5-300=-305 -6-250=-256 -10-150=-160 -12-125=-137 -15-100=-115 -20-75=-95 -25-60=-85 -30-50=-80$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -115 ergibt.

$$a=-100 b=-15$$

4x^{2}-115x+375 als \left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-100x\right)+\left(-15x+375\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -15 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-25\right)-15\left(x-25\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-25 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}-230x+750=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{\left(-230\right)^{2}-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

-230 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-4\times 8\times 750}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-32\times 750}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 750.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{52900-24000}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 52900 zu -24000.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±\sqrt{28900}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28900.

$$x=\frac{-\left(-230\right)±170}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -230 ist 230.

$$x=\frac{230±170}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{230±170}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{230±170}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 230 zu 170.

$$x=\frac{400}{16}$$

Dividieren Sie 400 durch 16.

$$x=25$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{230±170}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 170 von 230.

$$x=\frac{60}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{60}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{15}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 25 und für x_{2} \frac{15}{4} ein.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\left(x-\frac{15}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{15}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-230x+750=8\left(x-25\right)\times \frac{4x-15}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 8 und 4 aufheben.

$$8x^{2}-230x+750=2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$

Auswerten

$$2\left(x-25\right)\left(4x-15\right)$$