8x^2-22x+12 lösen

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 12$$

Faktorisieren

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(4x^{2}-11x+6\right)$$

Betrachten Sie 4x^{2}-11x+6. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=4\times 6=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-8 b=-3$$

4x^{2}-11x+6 als \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}-22x+12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

-22 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 12}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-384}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 484 zu -384.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±10}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -22 ist 22.

$$x=\frac{22±10}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{22±10}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±10}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 22 zu 10.

$$x=\frac{32}{16}$$

Dividieren Sie 32 durch 16.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{22±10}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 22.

$$x=\frac{12}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} \frac{3}{4} ein.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-22x+12=8\left(x-2\right)\times \frac{4x-3}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 8 und 4 aufheben.

$$8x^{2}-22x+12=2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$

Auswerten

$$2\left(x-2\right)\left(4x-3\right)$$