8x^2+x-3=0 lösen

$$8 x ^ { 2 } + x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}\approx 0,553053613$$

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}\approx -0,678053613$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch 1 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+96}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 1 zu 96.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±\sqrt{97}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{97} von -1.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}+x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}+x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}+x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$8x^{2}+x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{3}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=\frac{3}{8}$$

Dividieren Sie \frac{1}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{3}{8}+\frac{1}{256}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu \frac{1}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{97}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=\frac{97}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{16}=\frac{\sqrt{97}}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{\sqrt{97}}{16}$$

\frac{1}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{97}-1}{16} x=\frac{-\sqrt{97}-1}{16}$$