8x^2+65x+8 lösen

$$8 x ^ { 2 } + 65 x + 8$$

Faktorisieren

$$\left(x+8\right)\left(8x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8x^{2}+ax+bx+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=65 ab=8\times 8=64$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 64 ergeben.

$$1,64 2,32 4,16 8,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+64=65 2+32=34 4+16=20 8+8=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 65 ergibt.

$$a=1 b=64$$

8x^{2}+65x+8 als \left(8x^{2}+x\right)+\left(64x+8\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}+x\right)+\left(64x+8\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(8x+1\right)+8\left(8x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 8x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(8x+1\right)\left(x+8\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}+65x+8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-65±\sqrt{65^{2}-4\times 8\times 8}}{2\times 8}$$

65 zum Quadrat.

$$x=\frac{-65±\sqrt{4225-4\times 8\times 8}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-65±\sqrt{4225-32\times 8}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 8.

$$x=\frac{-65±\sqrt{4225-256}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 4225 zu -256.

$$x=\frac{-65±\sqrt{3969}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3969.

$$x=\frac{-65±63}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-65±63}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-65±63}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -65 zu 63.

$$x=-\frac{2}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-65±63}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 63 von -65.

$$x=-\frac{128}{16}$$

Dividieren Sie -128 durch 16.

$$x=-8$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{8} und für x_{2} -8 ein.

$$8x^{2}+65x+8=8\left(x-\left(-\frac{1}{8}\right)\right)\left(x-\left(-8\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$8x^{2}+65x+8=8\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(x+8\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}+65x+8=8\times \frac{8x+1}{8}\left(x+8\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 8 und 8 aufheben.

$$8x^{2}+65x+8=\left(8x+1\right)\left(x+8\right)$$

Auswerten

$$\left(x+8\right)\left(8x+1\right)$$