8x^2+26x+15 lösen

$$8 x ^ { 2 } + 26 x + 15$$

Faktorisieren

$$\left(2x+5\right)\left(4x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 120 ergeben.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 26 ergibt.

$$a=6 b=20$$

8x^{2}+26x+15 als \left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

26 zum Quadrat.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 15.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 676 zu -480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 196.

$$x=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-26±14}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-26±14}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -26 zu 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-26±14}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 14 von -26.

$$x=-\frac{40}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$8x^{2}+26x+15=8\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$8x^{2}+26x+15=8\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{2x+5}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{4x+3}{4} mit \frac{2x+5}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)}{4\times 2}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 2.

$$8x^{2}+26x+15=8\times \frac{\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 8 und 8 aufheben.

$$8x^{2}+26x+15=\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(2x+5\right)\left(4x+3\right)$$