8x^2+13x+10=0 lösen

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0,8125+0,768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0,8125-0,768012858i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch 13 und c durch 10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 169 zu -320.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -151.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu i\sqrt{151}.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{151} von -13.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

10 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

Die Subtraktion von 10 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}+13x=-10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

Dividieren Sie \frac{13}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{13}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{13}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{13}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

Addieren Sie -\frac{5}{4} zu \frac{169}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

\frac{13}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$