8x^2+10x-7=0 lösen

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx-7 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -56 ergeben.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 10 ergibt.

$$a=-4 b=14$$

8x^{2}+10x-7 als \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch 10 und c durch -7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 100 zu 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±18}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±18}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 18 von -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Die Subtraktion von -7 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Subtrahieren Sie -7 von 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Dividieren Sie \frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie \frac{7}{8} zu \frac{25}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

\frac{5}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$