8t^2-104t+96=0 lösen

$$8 t ^ { 2 } - 104 t + 96 = 0$$

Nach t auflösen

$$t=1$$

$$t=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$t^{2}-13t+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als t^{2}+at+bt+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-13 ab=1\times 12=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -13 ergibt.

$$a=-12 b=-1$$

t^{2}-13t+12 als \left(t^{2}-12t\right)+\left(-t+12\right) umschreiben.

$$\left(t^{2}-12t\right)+\left(-t+12\right)$$

Klammern Sie t in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$t\left(t-12\right)-\left(t-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term t-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(t-12\right)\left(t-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie t-12=0 und t-1=0.

$$t=12 t=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8t^{2}-104t+96=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -104 und c durch 96, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 8\times 96}}{2\times 8}$$

-104 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 8\times 96}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-32\times 96}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 96.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-3072}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 10816 zu -3072.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{7744}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7744.

$$t=\frac{-\left(-104\right)±88}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -104 ist 104.

$$t=\frac{104±88}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$t=\frac{104±88}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{104±88}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 104 zu 88.

$$t=\frac{192}{16}$$

Dividieren Sie 192 durch 16.

$$t=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{104±88}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 88 von 104.

$$t=\frac{16}{16}$$

Dividieren Sie 16 durch 16.

$$t=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=12 t=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8t^{2}-104t+96=0$$

96 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8t^{2}-104t+96-96=-96$$

Die Subtraktion von 96 von sich selbst ergibt 0.

$$8t^{2}-104t=-96$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8t^{2}-104t}{8}=-\frac{96}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$t^{2}+\left(-\frac{104}{8}\right)t=-\frac{96}{8}$$

Dividieren Sie -104 durch 8.

$$t^{2}-13t=-\frac{96}{8}$$

Dividieren Sie -96 durch 8.

$$t^{2}-13t=-12$$

Dividieren Sie -13, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-13t+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-13t+\frac{169}{4}=-12+\frac{169}{4}$$

Addieren Sie -12 zu \frac{169}{4}.

$$t^{2}-13t+\frac{169}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktor t^{2}-13t+\frac{169}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{13}{2}=\frac{11}{2} t-\frac{13}{2}=-\frac{11}{2}$$

Addieren Sie \frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=12 t=1$$