8x^2-7x+2=0 lösen

$$8 { x }^{ 2 } -7x+2=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}\approx 0,4375+0,242061459i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}\approx 0,4375-0,242061459i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -7 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8\times 2}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32\times 2}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-64}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 49 zu -64.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-15}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu i\sqrt{15}.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{15}i}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{15} von 7.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-7x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8x^{2}-7x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-7x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{2}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{2}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{4} zu \frac{49}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{256}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{15}i}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{15}i}{16}$$

Addieren Sie \frac{7}{16} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{7+\sqrt{15}i}{16} x=\frac{-\sqrt{15}i+7}{16}$$