8x^2-24x-24=0 lösen

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3,791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,791287847$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -24 und c durch -24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

-24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 576 zu 768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1344.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -24 ist 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 24 zu 8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

Dividieren Sie 24+8\sqrt{21} durch 16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8\sqrt{21} von 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

Dividieren Sie 24-8\sqrt{21} durch 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Addieren Sie 24 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Die Subtraktion von -24 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

Subtrahieren Sie -24 von 0.

$$8x^{2}-24x=24$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie -24 durch 8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

Dividieren Sie 24 durch 8.

$$x^{2}-3x=3$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 3 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$