8x^2-14x-15 lösen

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Faktorisieren

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 8x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -120 ergeben.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -14 ergibt.

$$a=-20 b=6$$

8x^{2}-14x-15 als \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 196 zu 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±26}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±26}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x-5}{2} mit \frac{4x+3}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 8 in 8 und 8 aufheben.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$