8x^2+2x-3=0 lösen

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-4 b=6$$

8x^{2}+2x-3 als \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-1=0 und 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch 2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 4 zu 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±10}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±10}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Dividieren Sie \frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

\frac{1}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$