7x-5/2x^2-5/2x=1000 lösen

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0,9+19,979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0,9-19,979739738i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Kombinieren Sie 7x und -\frac{5}{2}x, um \frac{9}{2}x zu erhalten.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Subtrahieren Sie 1000 von beiden Seiten.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -\frac{5}{2}, b durch \frac{9}{2} und c durch -1000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie 10 mit -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Addieren Sie \frac{81}{4} zu -10000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -\frac{39919}{4}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -\frac{9}{2} zu \frac{i\sqrt{39919}}{2}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

Dividieren Sie \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} durch -5.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{i\sqrt{39919}}{2} von -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

Dividieren Sie \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} durch -5.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Kombinieren Sie 7x und -\frac{5}{2}x, um \frac{9}{2}x zu erhalten.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

Beide Seiten der Gleichung durch -\frac{5}{2} dividieren, was gleichbedeutend mit der Multiplikation beider Seiten mit dem Kehrwert des Bruchs ist.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Division durch -\frac{5}{2} macht die Multiplikation mit -\frac{5}{2} rückgängig.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Dividieren Sie \frac{9}{2} durch -\frac{5}{2}, indem Sie \frac{9}{2} mit dem Kehrwert von -\frac{5}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

Dividieren Sie 1000 durch -\frac{5}{2}, indem Sie 1000 mit dem Kehrwert von -\frac{5}{2} multiplizieren.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

Dividieren Sie -\frac{9}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

Addieren Sie -400 zu \frac{81}{100}.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

Addieren Sie \frac{9}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$