77r^2+45r-18 lösen

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Faktorisieren

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 77r^{2}+ar+br-18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -1386 ergeben.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 45 ergibt.

$$a=-21 b=66$$

77r^{2}+45r-18 als \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right) umschreiben.

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Klammern Sie 7r in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 11r-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

45 zum Quadrat.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplizieren Sie -308 mit -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Addieren Sie 2025 zu 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-45±87}{154}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -45 zu 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{42}{154} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$r=\frac{3}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{-45±87}{154}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 87 von -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-132}{154} um den niedrigsten Term, indem Sie 22 extrahieren und aufheben.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{11} und für x_{2} -\frac{6}{7} ein.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{11} von r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{6}{7} zu r, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplizieren Sie \frac{11r-3}{11} mit \frac{7r+6}{7}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplizieren Sie 11 mit 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 77 in 77 und 77 aufheben.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Auswerten

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$