75x^2+35x-10=0 lösen

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-3 b=10$$

15x^{2}+7x-2 als \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-1=0 und 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 75, b durch 35 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 zum Quadrat.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie -300 mit -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Addieren Sie 1225 zu 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-35±65}{150}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -35 zu 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{150} um den niedrigsten Term, indem Sie 30 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-35±65}{150}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 65 von -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-100}{150} um den niedrigsten Term, indem Sie 50 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Division durch 75 macht die Multiplikation mit 75 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{35}{75} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{75} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Dividieren Sie \frac{7}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{30} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{30} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{30}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Addieren Sie \frac{2}{15} zu \frac{49}{900}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

\frac{7}{30} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$