75x^2+200x-400 lösen

$$75 x ^ { 2 } + 200 x - 400$$

Faktorisieren

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 25 aus.

$$25\left(3x^{2}+8x-16\right)$$

Betrachten Sie 3x^{2}+8x-16. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3x^{2}+ax+bx-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -48 ergeben.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-4 b=12$$

3x^{2}+8x-16 als \left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$75x^{2}+200x-400=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

200 zum Quadrat.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 75.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-300\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie -300 mit -400.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+120000}}{2\times 75}$$

Addieren Sie 40000 zu 120000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{160000}}{2\times 75}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 160000.

$$x=\frac{-200±400}{2\times 75}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 75.

$$x=\frac{-200±400}{150}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-200±400}{150}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -200 zu 400.

$$x=\frac{200}{150}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{200}{150} um den niedrigsten Term, indem Sie 50 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-200±400}{150}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 400 von -200.

$$x=-\frac{600}{150}$$

Dividieren Sie -600 durch 150.

$$x=-4$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -4 ein.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+4\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$75x^{2}+200x-400=75\times \frac{3x-4}{3}\left(x+4\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 75 und 3 aufheben.

$$75x^{2}+200x-400=25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

Auswerten

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$