72y^2-176y+64 lösen

$$72 y ^ { 2 } - 176 y + 64$$

Faktorisieren

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 8 aus.

$$8\left(9y^{2}-22y+8\right)$$

Betrachten Sie 9y^{2}-22y+8. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 9y^{2}+ay+by+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-22 ab=9\times 8=72$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 72 ergeben.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -22 ergibt.

$$a=-18 b=-4$$

9y^{2}-22y+8 als \left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right) umschreiben.

$$\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Klammern Sie 9y in der ersten und -4 in der zweiten Gruppe aus.

$$9y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$72y^{2}-176y+64=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

-176 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 72.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-288\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplizieren Sie -288 mit 64.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-18432}}{2\times 72}$$

Addieren Sie 30976 zu -18432.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{12544}}{2\times 72}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12544.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±112}{2\times 72}$$

Das Gegenteil von -176 ist 176.

$$y=\frac{176±112}{2\times 72}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 72.

$$y=\frac{176±112}{144}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{176±112}{144}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 176 zu 112.

$$y=\frac{288}{144}$$

Dividieren Sie 288 durch 144.

$$y=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{176±112}{144}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 112 von 176.

$$y=\frac{64}{144}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{64}{144} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{4}{9}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} \frac{4}{9} ein.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\left(y-\frac{4}{9}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{9} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\times \frac{9y-4}{9}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 9 in 72 und 9 aufheben.

$$72y^{2}-176y+64=8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Auswerten

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$