7y^2-4y-3 lösen

$$7 y ^ { 2 } - 4 y - 3$$

Faktorisieren

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 7y^{2}+ay+by-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-4 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -21 ergeben.

$$1,-21 3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -4 ergibt.

$$a=-7 b=3$$

7y^{2}-4y-3 als \left(7y^{2}-7y\right)+\left(3y-3\right) umschreiben.

$$\left(7y^{2}-7y\right)+\left(3y-3\right)$$

Klammern Sie 7y in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$7y\left(y-1\right)+3\left(y-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$7y^{2}-4y-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-4 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -3.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 16 zu 84.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±10}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$y=\frac{4±10}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$y=\frac{4±10}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{4±10}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 10.

$$y=\frac{14}{14}$$

Dividieren Sie 14 durch 14.

$$y=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{4±10}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von 4.

$$y=-\frac{6}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{3}{7}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{3}{7} ein.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{3}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\left(y+\frac{3}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{7} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\times \frac{7y+3}{7}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 7 in 7 und 7 aufheben.

$$7y^{2}-4y-3=\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

Auswerten

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$