7x^2-2x-3=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}\approx 0,812916537$$

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}\approx -0,527202251$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+84}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 4 zu 84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{88}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 88.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+2}{14}$$

Dividieren Sie 2+2\sqrt{22} durch 14.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{22}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{22} von 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{22}}{14}$$

Dividieren Sie 2-2\sqrt{22} durch 14.

$$x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-2x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$7x^{2}-2x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-2x}{7}=\frac{3}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{3}{7}+\frac{1}{49}$$

Addieren Sie \frac{3}{7} zu \frac{1}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{22}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{22}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{22}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{22}}{7}$$

Addieren Sie \frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{22}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{22}}{7}$$