7x^2-18x-9=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -63 ergeben.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -18 ergibt.

$$a=-21 b=3$$

7x^{2}-18x-9 als \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-3=0 und 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -18 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

-18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 324 zu 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -18 ist 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±24}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 18 zu 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Dividieren Sie 42 durch 14.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{18±24}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{18}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Addieren Sie \frac{9}{7} zu \frac{81}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Addieren Sie \frac{9}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$