7x^2-14x+1/4=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } - 14 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 1,981980506$$

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 0,018019494$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -14 und c durch \frac{1}{4}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-28\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-7}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 196 zu -7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{189}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 189.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+14}{14}$$

Dividieren Sie 14+3\sqrt{21} durch 14.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{21} von 14.

$$x=\frac{14-3\sqrt{21}}{14}$$

Dividieren Sie 14-3\sqrt{21} durch 14.

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

\frac{1}{4} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Die Subtraktion von \frac{1}{4} von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-14x=-\frac{1}{4}$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-14x}{7}=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{7}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Dividieren Sie -14 durch 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{4} durch 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{28}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{28}+1$$

Addieren Sie -\frac{1}{28} zu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{27}{28}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{27}{28}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{28}}$$

Vereinfachen.

$$x-1=\frac{3\sqrt{21}}{14} x-1=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$