7x^2+5x+5=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 5 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 25 zu -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{115} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Dividieren Sie \frac{5}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Addieren Sie -\frac{5}{7} zu \frac{25}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

\frac{5}{14} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$