7x^2+4x+1=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 16 zu -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Dividieren Sie -4+2i\sqrt{3} durch 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{3} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Dividieren Sie -4-2i\sqrt{3} durch 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Dividieren Sie \frac{4}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Addieren Sie -\frac{1}{7} zu \frac{4}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

\frac{2}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$