7x^2+3x-10=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 3 x - 10 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1,428571429$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-10 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=7\left(-10\right)=-70$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -70 ergeben.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-7 b=10$$

7x^{2}+3x-10 als \left(7x^{2}-7x\right)+\left(10x-10\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(10x-10\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(x-1\right)+10\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 7x+10=0.

$$x=1 x=-\frac{10}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+3x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 3 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 7\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28\left(-10\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+280}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 9 zu 280.

$$x=\frac{-3±\sqrt{289}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-3±17}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-3±17}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±17}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 17.

$$x=\frac{14}{14}$$

Dividieren Sie 14 durch 14.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±17}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von -3.

$$x=-\frac{20}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{10}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{10}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+3x-10=0$$

Addieren Sie 10 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7x^{2}+3x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Die Subtraktion von -10 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+3x=-\left(-10\right)$$

Subtrahieren Sie -10 von 0.

$$7x^{2}+3x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+3x}{7}=\frac{10}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{7}x=\frac{10}{7}$$

Dividieren Sie \frac{3}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{7}x+\left(\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{10}{7}+\left(\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{10}{7}+\frac{9}{196}$$

Addieren Sie \frac{10}{7} zu \frac{9}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{289}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{289}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{14}=\frac{17}{14} x+\frac{3}{14}=-\frac{17}{14}$$

\frac{3}{14} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{10}{7}$$