7x^2+2x=9 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 7x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -63 ergeben.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-7 b=9$$

7x^{2}+2x-9 als \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+2x=9$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 2 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 4 zu 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±16}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Dividieren Sie 14 durch 14.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±16}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+2x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Dividieren Sie \frac{2}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Addieren Sie \frac{9}{7} zu \frac{1}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

\frac{1}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$