7x^2+2x+1=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}\approx -0,142857143+0,349927106i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}\approx -0,142857143-0,349927106i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 2 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 4 zu -28.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-24}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -24.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{6}i}{14}$$

Dividieren Sie -2+2i\sqrt{6} durch 14.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{6} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i-2}{14}$$

Dividieren Sie -2-2i\sqrt{6} durch 14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}+2x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+2x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Dividieren Sie \frac{2}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}$$

Addieren Sie -\frac{1}{7} zu \frac{1}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{6}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{6}i}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{6}i}{7}$$

\frac{1}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$