7n^2-14n-715=0 lösen

$$7 n ^ { 2 } - 14 n - 715 = 0$$

Nach n auflösen

$$n=\frac{19\sqrt{14}}{7}+1\approx 11,155927193$$

$$n=-\frac{19\sqrt{14}}{7}+1\approx -9,155927193$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7n^{2}-14n-715=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -14 und c durch -715, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 7\left(-715\right)}}{2\times 7}$$

-14 zum Quadrat.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 7\left(-715\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-28\left(-715\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -715.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+20020}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 196 zu 20020.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{20216}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20216.

$$n=\frac{-\left(-14\right)±38\sqrt{14}}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$n=\frac{14±38\sqrt{14}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$n=\frac{14±38\sqrt{14}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{14±38\sqrt{14}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 38\sqrt{14}.

$$n=\frac{38\sqrt{14}+14}{14}$$

Dividieren Sie 14+38\sqrt{14} durch 14.

$$n=\frac{19\sqrt{14}}{7}+1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{14±38\sqrt{14}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 38\sqrt{14} von 14.

$$n=\frac{14-38\sqrt{14}}{14}$$

Dividieren Sie 14-38\sqrt{14} durch 14.

$$n=-\frac{19\sqrt{14}}{7}+1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{19\sqrt{14}}{7}+1 n=-\frac{19\sqrt{14}}{7}+1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7n^{2}-14n-715=0$$

Addieren Sie 715 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7n^{2}-14n-715-\left(-715\right)=-\left(-715\right)$$

Die Subtraktion von -715 von sich selbst ergibt 0.

$$7n^{2}-14n=-\left(-715\right)$$

Subtrahieren Sie -715 von 0.

$$7n^{2}-14n=715$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7n^{2}-14n}{7}=\frac{715}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$n^{2}+\left(-\frac{14}{7}\right)n=\frac{715}{7}$$

Dividieren Sie -14 durch 7.

$$n^{2}-2n=\frac{715}{7}$$

Dividieren Sie -2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-2n+1=\frac{715}{7}+1$$

Addieren Sie \frac{715}{7} zu 1.

$$n^{2}-2n+1=\frac{722}{7}$$

Faktor n^{2}-2n+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-1\right)^{2}=\frac{722}{7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{722}{7}}$$

Vereinfachen.

$$n-1=\frac{19\sqrt{14}}{7} n-1=-\frac{19\sqrt{14}}{7}$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=\frac{19\sqrt{14}}{7}+1 n=-\frac{19\sqrt{14}}{7}+1$$