7x^2-x+2=0 lösen

$$7 { x }^{ 2 } -x+2=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{55}i}{14}\approx 0,071428571+0,529728463i$$

$$x=\frac{-\sqrt{55}i+1}{14}\approx 0,071428571-0,529728463i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-x+2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -1 und c durch 2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7\times 2}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28\times 2}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-56}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 1 zu -56.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-55}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -55.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{55}i}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{55}i}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{1±\sqrt{55}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{55}i}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu i\sqrt{55}.

$$x=\frac{1+\sqrt{55}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{55}i}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{55} von 1.

$$x=\frac{-\sqrt{55}i+1}{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{55}i}{14} x=\frac{-\sqrt{55}i+1}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-x+2=0$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}-x+2-2=-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-x=-2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-x}{7}=-\frac{2}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{7}x=-\frac{2}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{7}x+\left(-\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{2}{7}+\frac{1}{196}$$

Addieren Sie -\frac{2}{7} zu \frac{1}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=-\frac{55}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{14}\right)^{2}=-\frac{55}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{55}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{14}=\frac{\sqrt{55}i}{14} x-\frac{1}{14}=-\frac{\sqrt{55}i}{14}$$

Addieren Sie \frac{1}{14} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{55}i}{14} x=\frac{-\sqrt{55}i+1}{14}$$