7x^2-74x-120 lösen

$$7 { x }^{ 2 } -74x-120$$

Faktorisieren

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 7x^{2}+ax+bx-120 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-74 ab=7\left(-120\right)=-840$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -840 ergeben.

$$1,-840 2,-420 3,-280 4,-210 5,-168 6,-140 7,-120 8,-105 10,-84 12,-70 14,-60 15,-56 20,-42 21,-40 24,-35 28,-30$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-840=-839 2-420=-418 3-280=-277 4-210=-206 5-168=-163 6-140=-134 7-120=-113 8-105=-97 10-84=-74 12-70=-58 14-60=-46 15-56=-41 20-42=-22 21-40=-19 24-35=-11 28-30=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -74 ergibt.

$$a=-84 b=10$$

7x^{2}-74x-120 als \left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(10x-120\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(x-12\right)+10\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$7x^{2}-74x-120=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

-74 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 7\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-28\left(-120\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -120.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+3360}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 5476 zu 3360.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{8836}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8836.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±94}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -74 ist 74.

$$x=\frac{74±94}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{74±94}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{74±94}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 74 zu 94.

$$x=\frac{168}{14}$$

Dividieren Sie 168 durch 14.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{74±94}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 94 von 74.

$$x=-\frac{20}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{10}{7}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 12 und für x_{2} -\frac{10}{7} ein.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x-\left(-\frac{10}{7}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\left(x+\frac{10}{7}\right)$$

Addieren Sie \frac{10}{7} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$7x^{2}-74x-120=7\left(x-12\right)\times \frac{7x+10}{7}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 7 in 7 und 7 aufheben.

$$7x^{2}-74x-120=\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$

Auswerten

$$\left(x-12\right)\left(7x+10\right)$$