7x^2-3x-5=0 lösen

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -3 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 9 zu 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{149} von 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Addieren Sie \frac{5}{7} zu \frac{9}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$