7x^2+8x-11=0 lösen

$$7 { x }^{ 2 } +8x-11=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7}\approx 0,806235823$$

$$x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}\approx -1,949092966$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}+8x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 8 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+308}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 64 zu 308.

$$x=\frac{-8±\sqrt{372}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 372.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 2\sqrt{93}.

$$x=\frac{2\sqrt{93}-8}{14}$$

Dividieren Sie -8+2\sqrt{93} durch 14.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8±2\sqrt{93}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{93} von -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{93}-8}{14}$$

Dividieren Sie -8-2\sqrt{93} durch 14.

$$x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7} x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}+8x-11=0$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Die Subtraktion von -11 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Subtrahieren Sie -11 von 0.

$$7x^{2}+8x=11$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}+8x}{7}=\frac{11}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x=\frac{11}{7}$$

Dividieren Sie \frac{8}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(\frac{4}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{11}{7}+\frac{16}{49}$$

Addieren Sie \frac{11}{7} zu \frac{16}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}=\frac{93}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{16}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}=\frac{93}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{93}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{7}=\frac{\sqrt{93}}{7} x+\frac{4}{7}=-\frac{\sqrt{93}}{7}$$

\frac{4}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{93}-4}{7} x=\frac{-\sqrt{93}-4}{7}$$