6x-1=9x^2 lösen

$$6x-1=9 { x }^{ 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -9x^{2}+ax+bx-1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=-9\left(-1\right)=9$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 9 ergeben.

$$1,9 3,3$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+9=10 3+3=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=3 b=3$$

-9x^{2}+6x-1 als \left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right) umschreiben.

$$\left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right)$$

Klammern Sie -3x in -9x^{2}+3x aus.

$$-3x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-1\right)\left(-3x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-1=0 und -3x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -9, b durch 6 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+36\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 36 mit -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\left(-9\right)}$$

Addieren Sie 36 zu -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{6}{2\left(-9\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -9.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{-18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 9x^{2} von beiden Seiten.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Auf beiden Seiten 1 addieren. Eine beliebige Zahl plus null ergibt sich selbst.

$$6x-9x^{2}=1$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-9x^{2}+6x=1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -9.

$$\frac{-9x^{2}+6x}{-9}=\frac{1}{-9}$$

Division durch -9 macht die Multiplikation mit -9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-9}x=\frac{1}{-9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{-9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-9}$$

Dividieren Sie 1 durch -9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{9} zu \frac{1}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Addieren Sie \frac{1}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=\frac{1}{3}$$