69x-4<2x^2 lösen

$$69 x - 4 < 2 x ^ { 2 }$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\infty,\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{4729}+69}{4},\infty\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 2x^{2} von beiden Seiten.

$$69x-4-2x^{2}<0$$

Multiplizieren Sie die Ungleichung mit -1, um den Koeffizienten mit der höchsten Potenz in 69x-4-2x^{2} positiv zu machen. Da -1 negativ ist, wird die Richtung der Ungleichung geändert.

$$-69x+4+2x^{2}>0$$

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$-69x+4+2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -69 und c durch 4.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{69±\sqrt{4729}}{4}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{\sqrt{4729}+69}{4} x=\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}\right)\left(x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\right)>0$$

Damit das Produkt positiv ist, müssen x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} und x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} beide negativ oder beide positiv sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} und x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} beide negativ sind.

$$x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}<0 x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4} und x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4} beide positiv sind.

$$x-\frac{69-\sqrt{4729}}{4}>0 x-\frac{\sqrt{4729}+69}{4}>0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x<\frac{69-\sqrt{4729}}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{4729}+69}{4}$$