64x^2+24sqrt{5}x+33=0 lösen

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 64, b durch 24\sqrt{5} und c durch 33, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

24\sqrt{5} zum Quadrat.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Multiplizieren Sie -256 mit 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Addieren Sie 2880 zu -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -24\sqrt{5} zu 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Dividieren Sie -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} durch 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{87} von -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Dividieren Sie -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} durch 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

33 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Die Subtraktion von 33 von sich selbst ergibt 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Division durch 64 macht die Multiplikation mit 64 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Dividieren Sie 24\sqrt{5} durch 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Dividieren Sie \frac{3\sqrt{5}}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3\sqrt{5}}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3\sqrt{5}}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

\frac{3\sqrt{5}}{16} zum Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Addieren Sie -\frac{33}{64} zu \frac{45}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

\frac{3\sqrt{5}}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$