64p^2-16p+1=0 lösen

$$64 p ^ { 2 } - 16 p + 1 = 0$$

Nach p auflösen

$$p=\frac{1}{8}=0,125$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 64p^{2}+ap+bp+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 64 ergeben.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -16 ergibt.

$$a=-8 b=-8$$

64p^{2}-16p+1 als \left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right) umschreiben.

$$\left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right)$$

Klammern Sie 8p in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$8p\left(8p-1\right)-\left(8p-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 8p-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(8p-1\right)\left(8p-1\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(8p-1\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 8p-1=0.

$$p=\frac{1}{8}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 64, b durch -16 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

-16 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 64.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

Addieren Sie 256 zu -256.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$p=-\frac{-16}{2\times 64}$$

Das Gegenteil von -16 ist 16.

$$p=\frac{16}{2\times 64}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 64.

$$p=\frac{16}{128}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{128} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$p=\frac{1}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$64p^{2}-16p+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$64p^{2}-16p=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 64.

$$\frac{64p^{2}-16p}{64}=-\frac{1}{64}$$

Division durch 64 macht die Multiplikation mit 64 rückgängig.

$$p^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)p=-\frac{1}{64}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{64} um den niedrigsten Term, indem Sie 16 extrahieren und aufheben.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p=-\frac{1}{64}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=\frac{-1+1}{64}$$

Addieren Sie -\frac{1}{64} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=0$$

Faktor p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{1}{8}=0 p-\frac{1}{8}=0$$

Addieren Sie \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=\frac{1}{8} p=\frac{1}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$p=\frac{1}{8}$$