6y^2+y-15=0 lösen

$$6 y ^ { 2 } + y - 15 = 0$$

Nach y auflösen

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6y^{2}+ay+by-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -90 ergeben.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-9 b=10$$

6y^{2}+y-15 als \left(6y^{2}-9y\right)+\left(10y-15\right) umschreiben.

$$\left(6y^{2}-9y\right)+\left(10y-15\right)$$

Klammern Sie 3y in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3y\left(2y-3\right)+5\left(2y-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2y-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2y-3\right)\left(3y+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2y-3=0 und 3y+5=0.

$$y=\frac{3}{2} y=-\frac{5}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6y^{2}+y-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 1 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -15.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1 zu 360.

$$y=\frac{-1±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$y=\frac{-1±19}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$y=\frac{-1±19}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±19}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 19.

$$y=\frac{18}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±19}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -1.

$$y=-\frac{20}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{3}{2} y=-\frac{5}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6y^{2}+y-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6y^{2}+y-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$6y^{2}+y=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$6y^{2}+y=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6y^{2}+y}{6}=\frac{15}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{1}{6}y=\frac{15}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{15}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$y^{2}+\frac{1}{6}y=\frac{5}{2}$$

Dividieren Sie \frac{1}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{6}y+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{1}{6}y+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu \frac{1}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{1}{6}y+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{6}y+\frac{1}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{1}{12}=\frac{19}{12} y+\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

\frac{1}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{3}{2} y=-\frac{5}{3}$$