6y+9y^2-15 lösen

$$6 y + 9 y ^ { 2 } - 15$$

Faktorisieren

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(2y+3y^{2}-5\right)$$

Betrachten Sie 2y+3y^{2}-5. Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$3y^{2}+2y-5$$

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3y^{2}+ay+by-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -15 ergeben.

$$-1,15 -3,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-3 b=5$$

3y^{2}+2y-5 als \left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right) umschreiben.

$$\left(3y^{2}-3y\right)+\left(5y-5\right)$$

Klammern Sie 3y in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3y\left(y-1\right)+5\left(y-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9y^{2}+6y-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

6 zum Quadrat.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -15.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+540}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 36 zu 540.

$$y=\frac{-6±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$y=\frac{-6±24}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$y=\frac{-6±24}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-6±24}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 24.

$$y=\frac{18}{18}$$

Dividieren Sie 18 durch 18.

$$y=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-6±24}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von -6.

$$y=-\frac{30}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{5}{3} ein.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\left(y+\frac{5}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9y^{2}+6y-15=9\left(y-1\right)\times \frac{3y+5}{3}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 9 und 3 aufheben.

$$9y^{2}+6y-15=3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$

Auswerten

$$3\left(y-1\right)\left(3y+5\right)$$