6x-x^2=8 lösen

$$6 x - x ^ { 2 } = 8$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 8 von beiden Seiten.

$$6x-x^{2}-8=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+6x-8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=6 ab=-\left(-8\right)=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$1,8 2,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+8=9 2+4=6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 6 ergibt.

$$a=4 b=2$$

-x^{2}+6x-8 als \left(-x^{2}+4x\right)+\left(2x-8\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(2x-8\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(-x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und -x+2=0.

$$x=4 x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+6x=8$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-x^{2}+6x-8=8-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$-x^{2}+6x-8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 6 und c durch -8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-32}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 36 zu -32.

$$x=\frac{-6±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-6±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-6±2}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividieren Sie -4 durch -2.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie -8 durch -2.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+6x=8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{8}{-1}$$

Dividieren Sie 6 durch -1.

$$x^{2}-6x=\frac{8}{-1}$$

Dividieren Sie 8 durch -1.

$$x^{2}-6x=-8$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Addieren Sie -8 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=2$$