6x^2-x-40 lösen

$$6 x ^ { 2 } - x - 40$$

Faktorisieren

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6x^{2}+ax+bx-40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-16 b=15$$

6x^{2}-x-40 als \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1 zu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{8}{3} und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{8}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\times \frac{2x+5}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-8}{3} mit \frac{2x+5}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{3\times 2}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 2.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 6 und 6 aufheben.

$$6x^{2}-x-40=\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$