6x^2-7x-3=0 lösen

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -18 ergeben.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-9 b=2$$

6x^{2}-7x-3 als \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie 3x in 6x^{2}-9x aus.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -7 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 49 zu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±11}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{3}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{49}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Addieren Sie \frac{7}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$