6x^2-3x-45 lösen

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

Faktorisieren

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

Betrachten Sie 2x^{2}-x-15. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-6 b=5$$

2x^{2}-x-15 als \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$6x^{2}-3x-45=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -45.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 9 zu 1080.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1089.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{3±33}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±33}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 33.

$$x=\frac{36}{12}$$

Dividieren Sie 36 durch 12.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±33}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 33 von 3.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-30}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 3 und für x_{2} -\frac{5}{2} ein.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 6 und 2 aufheben.

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Auswerten

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$