6x^2-14x-9=0 lösen

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch -14 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 196 zu 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Dividieren Sie 14+2\sqrt{103} durch 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{103} von 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Dividieren Sie 14-2\sqrt{103} durch 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{9}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{7}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu \frac{49}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Addieren Sie \frac{7}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$