6x^2+x-5=0 lösen

$$6 x ^ { 2 } + x - 5 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 6x^{2}+ax+bx-5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30 ergeben.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-5 b=6$$

6x^{2}+x-5 als \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Klammern Sie x in 6x^{2}-5x aus.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x-5=0 und x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 6, b durch 1 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie -24 mit -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Addieren Sie 1 zu 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±11}{12}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{10}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±11}{12}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Dividieren Sie -12 durch 12.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$6x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$6x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von 0.

$$6x^{2}+x=5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

Division durch 6 macht die Multiplikation mit 6 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividieren Sie \frac{1}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Addieren Sie \frac{5}{6} zu \frac{1}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

\frac{1}{12} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$